张靖华——面积形式的定比分点定理及其应用

张靖华邹生书数学 2022-07-17

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邹生书，男，1962年12月出生，中学数学高级教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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张靖华,中学数学教师，高级职称，中国数学学会会员，吉林市数学学会理事，中国数学学奥林匹克一级教练员.酷爱中等数学研究工作，曾在数学通讯、中学数学、数学学习与研究、数学教学研究、数学大世界等刊物上发表20余篇论文，代表作（处女作）《一对孪生命题的证明及推广》发表于苏州大学主办的《中学数学》1990年第3期.

面积形式的定比分点定理及其应用

张靖华（成志课堂数学组）13683591398

定比分点定理有多种形式，本文简介面积形式的定比分点定理，解决几何问题中的面积问题及与之有关的线段之比问题。

一．面积形式的定比分点定理

1.定义：若点X在线段AB上，满足AX:BX=a:b,则常称点X为分线段AB为定比a:b的（内）分点，

2.定比分点定理：在平面上任意给定四点A,B,C,D其中无三点共线．在线段AB上取一点X，设AX:BX=a:b，则

(1)若点A,X,B均在直线CD的同侧（参考图1和图2），

这就是面积形式的”定比分点定理．(除此之外还有坐标形式的、向量形式的，定比分点定理)．若将共线的三点之间所连的线段组成的图形视作面积为0的三角形，则可以考虑定比分点定理的一些有趣的特例．

例如，在同侧情形，若点A在直线CD上，

则按定比分点定理有:

以上分析表明，定比分点定理可以看成是共边定理的一种推广．

二．应用举例